Mini-cours "Construction et étude asymptotique de la théorie de Yang-Mills"
La théorie de Yang-Mills est une théorie de jauge non abélienne développée dans les années 50 par les physiciens C. N. Yang et R. Mills. La théorie quantique des champs associée permet de décrire trois des quatre interactions fondamentales et sous-tend le modèle standard de la physique des particules. Bien qu’une formalisation mathématique complète de cette théorie reste un problème ouvert en quatre dimensions, un modèle probabiliste sur un espace-temps à deux dimensions a été construit rigoureusement à la fin des années 90 par Driver, Sengupta et Lévy, appelé champ d’holonomie de Yang-Mills. Dans ce cours, nous étudierons la loi de ce champ d’holonomie, appelée mesure de Yang-Mills, sur une surface fermée orientable. Après avoir construit explicitement cette mesure, nous nous pencherons sur le comportement de sa fonction de partition lorsque le groupe en question est le groupe U(N), en faisant tendre N vers l’infini. Ce mini-cours sera l’occasion d’introduire et combiner des sujets variés : topologie en basse dimension, géométrie des fibrés principaux, partitions aléatoires, fonctions thêta de Jacobi, matrices aléatoires, représentations des groupes de Lie. Les seuls prérequis sont de bonnes notions d’analyse fonctionnelle et de probabilités ; une familiarité avec la géométrie différentielle est souhaitable mais tous les rappels nécessaires seront donnés.
Ce cours ne fait pas l’objet d’une évaluation et ne procure pas d’ECTS.
Notes de cours
Un polycopié de cours est en préparation, et sera probablement disponible d'ici la fin des cours ou peu après.
Emploi du temps
Tous les cours se tiendront en salle Bourbaki à l'ENS, le mardi après-midi de 15h15 à 16h45.
- Cours 1 - 4 mars 2025 : Introduction et motivations
- Cours 2 - 11 mars 2025 : Mesure de Yang-Mills I
- Cours 3 - 18 mars 2025 : Mesure de Yang-Mills II
- Cours 4 - 25 mars 2025 : Calcul de la fonction de partition
- Cours 5 - 1er avril 2025 : Etude asymptotique I
- Cours 6 - 8 avril 2025 : Etude asymptotique II
Bibliographie sélective
- Dahlqvist, Antoine; Lemoine, Thibaut. Large N limit of Yang-Mills partition function and Wilson loops on compact surfaces. Probab. Math. Phys. 4 (2023), no. 4, 849–890.
- Dahlqvist, Antoine; Lemoine, Thibaut. Large N limit of the Yang–Mills measure on compact surfaces II: Makeenko–Migdal equations and the planar master field. Forum Math. Sigma 13 (2025).
- Faraut, Jacques. Analysis on Lie groups. An introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 110. Cambridge University Press, Cambridge (2008)
- Lemoine, Thibaut. Large N behaviour of the two-dimensional Yang-Mills partition function. Combin. Probab. Comput. 31 (2022)
- Lemoine, Thibaut; Maïda, Mylène. Gaussian measure on the dual of U(N), random partitions, and topological expansion of the partition function. Ann. Proba. (2025), to appear.
- Lévy, Thierry. Two-dimensional Markovian holonomy fields. Astérisque No. 329, (2010)
- Lévy, Thierry; Sengupta, Ambar. Four chapters on low-dimensional gauge theories. Stochastic geometric mechanics, 115–167, Springer Proc. Math. Stat., 202, Springer, Cham (2017)
- Lévy, Thierry. Two-dimensional quantum Yang-Mills theory and the Makeenko-Migdal equations. Frontiers in analysis and probability, 275–325, Springer, Cham, (2020)
- Sengupta, Ambar. Gauge theory in two dimensions: topological, geometric and probabilistic aspects. Stochastic analysis in mathematical physics, 109–129, Worlds Sci. Publ., Hackensack, NJ (2008)